Gọi ~A(x_1, y_1)~, ~B(x_2,y_2)~ là tâm của 2 đường tròn.

~AB=d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}~

Xét 3 trường hợp:

1. Nếu các đường tròn không cắt nhau thì đáp án là 0. Chúng ta có thể kiểm tra trường hợp này mà chỉ dùng các phép tính với số nguyên: ~d^2 \ge (R_1+R_2)^2~.
2. Nếu một hình tròn nằm trọn trong một hình tròn còn lại thì đáp án là diện tích của hình tròn nhỏ hơn. Tương tự trường hợp trên, ta có thể kiểm tra bằng biểu thức ~d^2 \le (R_1-R_2)^2~.
3. Trường hợp còn lại, ~2~ hình tròn giao nhau. Xét tam giác có ~1~ đỉnh ở tâm của các đường tròn và ~2~ điểm còn lại trùng với ~2~ vị trí cắt nhau của các đường tròn như hình sau:

Gọi ~C, D~ là giao điểm của ~2~ đường tròn. Áp dụng định lý ~cosin~ trong ~\Delta ABC~:

~\left\{\begin{matrix} cos\widehat{ABC} = \frac{d^2 + R_2^2 - R_1^2}{2 dR_2} \rightarrow \widehat{ABC} = arccos(\frac{d^2 + R_2^2 - R_1^2}{2dR_2})\ (rad) \\ cos\widehat{CAB} = \frac{d^2 + R_1^2 - R_2^2}{2 dR_1}\rightarrow \widehat{CAB} = arccos(\frac{d^2 + R_1^2 - R_2^2}{2dR_1})\ (rad) \end{matrix}\right.~

Đặt ~\left\{\begin{matrix} \widehat{ABC} = \alpha (rad) \\ \widehat{CAB} = \beta (rad) \end{matrix}\right.~

Vậy phần diện tích chung nhau giữa hai hình tròn là: ~S = (\alpha \cdot R_2^2 - R_2^2\cdot sin\alpha\cdot cos\alpha) + (\beta \cdot R_1^2 - R_1^2\cdot sin\beta\cdot cos\beta)~

hay ~S = (\alpha \cdot R_2^2 - R_2^2\cdot \frac{sin2\alpha}{2}) + (\beta \cdot R_1^2 - R_1^2\cdot \frac{sin2\beta}{2})~

Chú ý dùng kiểu dữ liệu, ép kiểu một cách hợp lý vì bài dùng nhiều hàm căn bậc ~2,\ sin,\ cos,\ arcsin,\ arccos~.

Độ phức tạp: ~O(1)~

Code tham khảo

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld long double
using namespace std;

ll X1, Y1, r1;
ll X2, Y2, r2;
ld const pi = asin(1.00) * 2; //arcsin(1) = pi / 2

ll sqr(ll x)
{
    return x * x;
}

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin >> X1 >> Y1 >> r1;
    cin >> X2 >> Y2 >> r2;
    ll d = sqr(X1 - X2) + sqr(Y1 - Y2);

    if (d >= sqr(r1 + r2))
        return cout << fixed << setprecision(7) << 0.00, 0;
    if (d <= sqr(r1 - r2))
        return cout << fixed << setprecision(7) << pi * sqr(min(r1, r2)), 0;

    ld a = acos(((ld) d + sqr(r2) - sqr(r1)) / (2 * r2 * sqrt((ld)d))); // a is alpha
    ld b = acos(((ld) d + sqr(r1) - sqr(r2)) / (2 * r1 * sqrt((ld)d))); // b is beta
    ld ans =  (ld)a * sqr(r2) - sqr(r2) * sin(2 * a) / 2
            + (ld)b * sqr(r1) - sqr(r1) * sin(2 * b) / 2;
    cout << fixed << setprecision(7) << ans;
    return 0;
}