Hướng dẫn giải của Bedao Regular Contest 04 - MAGIC


Chỉ dùng lời giải này khi không có ý tưởng, và đừng copy-paste code từ lời giải này. Hãy tôn trọng người ra đề và người viết lời giải.
Nộp một lời giải chính thức trước khi tự giải là một hành động có thể bị ban.

Tác giả: bedao

Dễ thấy trong đoạn mã giả ở đề bài, ta có ~1 \le i < j < x < y \le n~.

Bài toán từ đó trở thành đếm số bộ bốn phần tử phân biệt của dãy ~a~ có tổng bằng ~0~.

Gọi ~cnt[pos][sum]~ là số lượng cặp ~(i, j)~ sao cho ~1 \le i < j \le pos~ và ~a[i] + a[j] = sum~.

Giả sử tính được mảng ~cnt~ trên. Khi đó đáp án của bài toán là tổng của các ~cnt[x - 1][-(a[x] + a[y])]~ với mọi cặp ~(x, y)~ sao cho ~3 \le x < y \le n~.

Tuy nhiên, ta không thể lưu dữ liệu vào một mảng ~cnt[pos][sum]~ được vì ~-2\times 10^6 \le sum \le 2\times 10^6~ và ~pos \le n~.

Thay vào đó, ta tối ưu bằng cách rút gọn mảng ~cnt~ thành ~cnt[sum]~ và tính mảng này theo thứ tự tăng dần của ~pos~. Mặt khác, khi ta for tới ~pos~ và update giá trị thì ~cnt[sum]~ đang lưu giá trị của ~cnt[pos][sum]~.

Ta cần lưu thêm một vector những giá trị sẽ sử dụng của mảng ~cnt~ tại vị trí ~pos~, gọi là ~qu[pos]~.

Với mọi cặp ~(i, j)~ sao cho ~i < j~, ta có ~qu[i - 1].push_back(-(a[i] + a[j]))~ (Tương ứng với ta cần cộng kết quả cho ~cnt[i - 1][-(a[i] + a[j])]~).

Sau đó, ta lần lượt for ~i~ từ ~2~ đến ~n~ và ~j~ từ ~1~ đến ~i - 1~, cập nhật ~cnt[a[i] + a[j]] += 1~.

Dễ thấy khi đã for xong với ~i=pos~ thì mảng ~cnt[sum]~ lúc này lưu giá trị của ~cnt[pos][sum]~. Ta chỉ cần for qua những phần tử trong ~qu[i]~ (gọi là ~sum~) và cộng vào đáp án lượng ~cnt[sum]~ tương ứng.

Chú ý rằng ~sum~ có thể âm nên bạn cần shift giá trị từ đoạn ~[-2\times 10^6, 2\times 10^6]~ lên ~[0, 4\times 10^6]~ để có thể sử dụng được mảng ~cnt~. (Nghĩa là ~cnt[0]~ sẽ lưu giá trị của ~cnt[-2\times 10^6]~ ban đầu)

Độ phức tạp thời gian: Vì chỉ có ~O(N^2)~ cặp ~(i,j)~ nên tổng tất cả phần tử của ~n~ vector ~qu[]~ là ~O(N^2)~, việc update mảng ~cnt~ cũng như cộng đáp án là ~O(N^2)~. Tổng là ~O(N^2)~.

Độ phức tạp bộ nhớ: ~O(2 \times max(a[i] + a[j]) + N^2)~.

Code mẫu

#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#pragma GCC target("avx,avx2,fma")

#include <bits/stdc++.h>

#define for1(i,a,b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define for2(i,a,b) for (int i = a; i >= b; i--)
// #define int long long

#define sz(a) (int)a.size()
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back

/*
__builtin_popcountll(x) : Number of 1-bit
__builtin_ctzll(x) : Number of trailing 0
*/

const long double PI = 3.1415926535897932384626433832795;
const int INF = 1000000000000000000;
const int MOD = 1000000007;
const int MOD2 = 1000000009;
const long double EPS = 1e-6;

using namespace std;

#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
using namespace __gnu_pbds;

const int N = 2e3 + 5;
int n, res;
int a[N], cnt[4000005];
gp_hash_table<int, int> mp[N];

int get1(int x) {
    return cnt[x + (int)2e6];
}
int get2(int i, int x) {
    if (mp[i].find(x) != mp[i].end()) return mp[i][x];
    return 0;
}

signed main() {

    ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);

    // freopen("cf.inp", "r", stdin);
    // freopen("cf.out", "w", stdout);

    cin >> n;
    for1(i,1,n) cin >> a[i];

    for1(i,1,n) {
        for1(j,i + 1,n) {
            cnt[a[i] + a[j] + (int)2e6]++;
            mp[i][a[i] + a[j]]++;
            mp[j][a[i] + a[j]]++;
        }
    }

    for1(i,1,n) {
        for1(j,i + 1,n) {
            int x = -a[i] - a[j];
            res += get1(x) - get2(i, x) - get2(j, x) + (x == 0);
            // cout <<i << " " << j << " " << res << "\n";
        }
    }
    cout << res / 6;
}

Bình luận

Hãy đọc nội quy trước khi bình luận.


Không có bình luận tại thời điểm này.