Trước hết, chúng ta cần xác định tâm ~O~ và chia hình ra thành các phần để tiện tính toán như hình sau:

Trong hình, ta nhận thấy:

~\angle AOB~ = ~\angle BOC~ = ~\frac{360}{5}~ = ~72^\circ~

~\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 72^\circ \times 2 = 144^\circ~

~AE = \sqrt{(2 \times AO \times OE) - cos(\angle AOE)} = \sqrt{(2 \times r^2) - cos(72^\circ)}~

Mà ~ABCDE~ là ngũ giác đều nên ~CD = DE~

~\angle BAE = \angle AED = \angle EDC = \angle DCB = \angle CBA = \frac{540}{5} = 108^\circ~

~S_{\triangle AOC} = \frac 1 2 \times (AO \times OC) \times sin(\angle AOC) = \frac1 2 \times r^2 \times sin(144^\circ)~

~S_{\triangle AOE} = \frac 1 2 \times (AO \times OE) \times sin(\angle AOE) = \frac1 2 \times r^2 \times sin(72^\circ)~

~S_{\triangle CDE} = \frac 1 2 \times (CD \times DE) \times sin(\angle EDC) = \frac1 2 \times r^2 \times sin(108^\circ)~

~S~ viên phân~_{AE}~ = ~S~ quạt~_{AOE}~ - ~S\triangle_{AOE}~ = ~(\frac{(\pi \times r^2 \times 72^\circ)}{360^\circ}) - S_{\triangle AOE}~

Tất cả các hình viên phân trong hình đều có diện tích bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được ~\triangle{CDE} = \triangle{EDK}~ và ~\triangle{AOC} = \triangle{AOE}~

~S_{\triangle AEH} = \frac 1 2 \times (AE \times EH) \times sin(\angle AEH) = \frac1 2 \times r^2 \times sin(72^\circ)~

~\rightarrow~ Ta có công thức tính diện tích cuối cùng như sau: Với viên phân được viết tắ là VP

~S_{tổng} = 2 \times (2 \times S_{\triangle AOC} + S_{\triangle AOE} )+ S_{\triangle CED} + S_{\triangle AEH} + S_{VP}~

Code mẫu

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define nmax 505
#define fas ios::sync_with_stdio(0); cout.tie(0); cin.tie(0)
#define el "\n"
#define fi first
#define se second
#define pi acos(-1)
#define lb long double
using namespace std;
lb r, BOD, BOC, DE, CDE, VP, CEH, x, AEH;
lb ssin(lb a)
{
    return sin(a * pi / 180);
}
lb scos(lb a)
{
    return cos(a*pi/180);
}
int main()
{
    fas;
    //freopen("CR2.inp","r",stdin);
   // freopen("CR2.out","w",stdout);
    int q;
    cin >> q;
    while(q--)
    {
        cin >> r >> x;
        // cout << scos(72);
        BOD = (1.0/2.0*(r*r))*ssin(144);
        BOC = (1.0/2.0*(r*r))*ssin(72);
        DE = sqrt((2.0*r*r)-(2.0*r*r*scos(72)));
        CDE = (1.0/2.0*(DE*DE))*ssin(108);
        VP = 2.0*(((pi*r*r*72.0)/360.0)-BOC);
        AEH = (1.0/2.0*(DE*x)*ssin(72));
       // cout << BOD << " " << BOC << " " << DE << " " << CDE << " " << VP << " " << CEH << el;
        lb res = (BOD*2.0+BOC)*2.0+CDE+VP+CEH-VP/2.0+AEH;
        cout << fixed << setprecision(9) << res << "\n";
    }
}