Editorial for Bedao Regular Contest 02 - GEOMETRY2


Remember to use this editorial only when stuck, and not to copy-paste code from it. Please be respectful to the problem author and editorialist.

Submitting an official solution before solving the problem yourself is a bannable offence.

Author: bedao

Trước hết, chúng ta cần xác định tâm ~O~ và chia hình ra thành các phần để tiện tính toán như hình sau: markdown

Trong hình, ta nhận thấy:

~\angle AOB~ = ~\angle BOC~ = ~\frac{360}{5}~ = ~72^\circ~

~\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 72^\circ \times 2 = 144^\circ~

~AE = \sqrt{(2 \times AO \times OE) - cos(\angle AOE)} = \sqrt{(2 \times r^2) - cos(72^\circ)}~

Mà ~ABCDE~ là ngũ giác đều nên ~CD = DE~

~\angle BAE = \angle AED = \angle EDC = \angle DCB = \angle CBA = \frac{540}{5} = 108^\circ~

~S_{\triangle AOC} = \frac 1 2 \times (AO \times OC) \times sin(\angle AOC) = \frac1 2 \times r^2 \times sin(144^\circ)~

~S_{\triangle AOE} = \frac 1 2 \times (AO \times OE) \times sin(\angle AOE) = \frac1 2 \times r^2 \times sin(72^\circ)~

~S_{\triangle CDE} = \frac 1 2 \times (CD \times DE) \times sin(\angle EDC) = \frac1 2 \times r^2 \times sin(108^\circ)~

~S~ viên phân~_{AE}~ = ~S~ quạt~_{AOE}~ - ~S\triangle_{AOE}~ = ~(\frac{(\pi \times r^2 \times 72^\circ)}{360^\circ}) - S_{\triangle AOE}~

Tất cả các hình viên phân trong hình đều có diện tích bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được ~\triangle{CDE} = \triangle{EDK}~ và ~\triangle{AOC} = \triangle{AOE}~

~S_{\triangle AEH} = \frac 1 2 \times (AE \times EH) \times sin(\angle AEH) = \frac1 2 \times r^2 \times sin(72^\circ)~

~\rightarrow~ Ta có công thức tính diện tích cuối cùng như sau: Với viên phân được viết tắ là VP

~S_{tổng} = 2 \times (2 \times S_{\triangle AOC} + S_{\triangle AOE} )+ S_{\triangle CED} + S_{\triangle AEH} + S_{VP}~


Comments

Please read the guidelines before commenting.


There are no comments at the moment.