Editorial for Bedao Grand Contest 11 - FRACTION
Submitting an official solution before solving the problem yourself is a bannable offence.
Author:
Ta có số "k-phân" được viết dưới định dạng:
~d.eb~
Với:
- ~d~ là phần nguyên.
- ~e~ là phần "k-phân" không vô hạn tuần hoàn.
- ~b~ là phần "k-phân" vô hạn tuần hoàn.
Ta sẽ biến đổi từng phần từ dạng "k-phân" về dạng phân số thập phân rồi cộng các phân số lại để được kết quả cuối cùng, cách biến đổi từng phần như sau:
Biến đổi ~d~ từ số "k-phân" về dạng phân số thập phân
Xem ~d~ là dãy số gồm ~D~ chữ số: ~d_1d_2d_3\dots d_D~, công thức chuyển đổi về dạng thập phân là:
~d = \sum_{i=1}^D d_ik^{D-i}~
Biến đổi ~0.e~ từ số "k-phân" về dạng phân số thập phân
Xem ~e~ là dãy số gồm ~E~ chữ số: ~e_1e_2e_3\dots e_E~, công thức chuyển đổi ~0.e~ về dạng thập phân là:
~0.e =\frac{e}{k^E}=\frac{1}{k^E}\sum_{i=1}^E e_ik^{E-i}~
Biến đổi ~0.b~ về dạng phân số thập phân
Lưu ý, ~b~ là một dãy số có vô hạn chữ số tuần hoàn. Ta gọi ~B~ là độ dài của một dãy số tiền tố bất kỳ sao cho:
~b_i=b_{i \texttt{ mod } B}~
Ta gọi:
~T = \sum_{i=1}^B b_ik^{B-i} ~
Ta có công thức chuyển đổi từ ~0.b~ thành dạng phân số thập phân như sau:
~0.b \times k^B = T.b~
~\Rightarrow T.b - 0.b=0.b\times (k^B-1)~
~\Rightarrow T=0.b\times (k^B-1)~
~\Rightarrow 0.b = \frac{T}{k^B-1} = \frac{1}{k^B-1}\sum_{i=1}^B b_ik^{B-i}~
Cách cộng các phần lại thành kết quả cuối cùng
Ta có số "k-phân" được viết dưới định dạng:
~d.eb~
Từ định dạng trên ta có thể viết lại thành tổng như sau:
~d.eb=d+0.e+\frac{0.b}{k^E}~
~=\sum_{i=1}^D d_ik^{D-i} + \frac{1}{k^E}\sum_{i=1}^E e_ik^{E-i} + \frac{1}{k^E(k^B-1)}\sum_{i=1}^B b_ik^{B-i}~
Comments