Note được dựa trên Concrete Mathematics, 2.6

Ở lớp 11, 12 các bạn đã được học về các khái niệm "đạo hàm" và "tích phân". Các khái niệm này có những tính chất rất đẹp, giúp chúng ta đơn giản hóa việc tính toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, diện tích, thể tích, ....

Tương tự, hai khái niệm "sai phân" và "tổng phân" cũng có những tính chất đẹp tương tự "đạo hàm, tích phân" và nhờ thế giúp ta tính tổng một cách đơn giản hơn.

1. Sai phân

Ta đã biết:

~f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}~

Do khi tính tổng, ~h~ là số nguyên nên khi ~h \rightarrow 0~ thì ~h~ chỉ có thể là ~1~ hoặc ~-1~. Để đơn giản hóa, ta coi ~h=1~ để có định nghĩa sau

~\Delta(f(x)) = f(x+1) - f(x)~

~\Delta(f(x))~ đọc là "sai phân của ~f~ tại điểm ~x~"", hoặc gọn hơn là "sai phân của ~f(x)~"

Ta có tính chất sau của đạo hàm: ~(x^m)' = mx^{m-1}~

Ta sẽ thử tính sai phân của ~x^3~ xem sai phân liệu có thể có tính chất tương tự hay không.

~\Delta(x^3) = (x+1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1~

Kết quả này không đẹp và dễ nhớ như ~(x^3)' = 3x^2~, vì vậy khi làm việc với sai phân, ta cần loại lũy thừa đặc biệt gọi là "lũy thừa giảm" (hay còn gọi là "giai thừa giảm")

~x^{\underline{m}} = x(x-1)(x-2)...(x-m+1)~

Ta thấy đây là tích của ~m~ thừa số giảm dần ~x~, ~x-1~, ..., ~x-m+1~. Kí hiệu ~x^{\underline{m}}~ đọc là "~x~ mũ ~m~ giảm"

Ta thử tính sai phân của ~x^{\underline{m}}~

~\Delta(x^{\underline{m}}) = (x+1)^{\underline{m}} - x^{\underline{m}} = (x+1)x(x-1)(x-2)...(x-m+2) - x(x-1)(x-2)...(x-m+1) = x(x-1)(x-2)...(x-m+2)[(x+1) - (x-m+1)]~

~\Delta(x^{\underline{m}}) = mx(x-1)(x-2)...(x-m+2) = mx^{\underline{m-1}}~

Vậy ta có công thức đẹp và dễ nhớ ~\boxed{\Delta(x^{\underline{m}}) = mx^{\underline{m-1}}}~

Ở trên chúng ta mới định nghĩa lũy thừa giảm với số mũ dương. Ta sẽ định nghĩa lũy thừa giảm cho số mũ không dương như sau để tính chất đóng hộp ở trên đúng.

~x^{\underline{0}} = 1~

~x^{\underline{-m}} = \frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)...(x+m)}~ (~m > 0~)

Sau khi định nghĩa được lũy thừa giảm cho mọi số nguyên, ta giờ có được công thức nhân hai lũy thừa giảm

~\boxed{x^{\underline{n+m}} = x^{\underline{n}}(x-n)^{\underline{m}}}~

Đồng thời, ta cũng có công thức sau (giống công thức khai triển nhị thức Newton)

~(x+y)^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^n C_n^k x^{\underline{k}}y^{\underline{n-k}}~

Một tính chất đẹp nữa của đạo hàm là ~(e^x)' = e^x~. Liệu có một hàm ~f(x)~ nào thỏa mãn ~\Delta f(x) = f(x)~ hay không?

Ta có: ~\Delta f(x) = f(x) \Rightarrow f(x+1) - f(x) = f(x) \Rightarrow f(x+1) = 2f(x)~

Dễ thấy ~f(x) = 2^x~ là một hàm thỏa mãn ~f(x+1) = 2f(x)~, và vì thế ~\boxed{\Delta(2^x) = 2^x}~

Việc tính sai phân hàm mũ cũng khá đơn giản

~\Delta(c^x) = c^{x+1} - c^x \Rightarrow \boxed{\Delta(c^x) = (c-1)c^x}~

2. Tổng phân

Ta đã biết:

~\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} - x_i)f(x_i)~

với ~x_i = a + \frac{i}{n+1}(b-a)~ (tức ~x_0, x_1, ..., x_n, x_{n+1}~ là các điểm trong đoạn ~[a,b]~ cách đều nhau)

(để dễ tưởng tượng và nhớ công thức này, lưu ý ~\sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} - x_i)f(x_i)~ là tổng diện tích các hình chữ nhật dùng để ước lượng diện tích nằm dưới đồ thị hàm số ~f(x)~)

Ta lấy cảm hứng từ khái niệm tích phân để định nghĩa tổng phân như sau:

~\sum_a^b f(x) \delta x = f(a) + f(a+1) + ... f(b-1) = \sum_{k=a}^{b-1} f(k)~

Lưu ý tổng chỉ chạy từ ~a~ đến ~b-1~ để tổng phân có các tính chất giống tích phân sau:

• ~\sum_a^b f(x) \delta x + \sum_b^c f(x) \delta x = \sum_a^c f(x) \delta x~ (giống ~\int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx = \int_a^c f(x)dx~)
• Nếu ~g(x) = \Delta(f(x))~ thì
  • ~\sum_a^b g(x) \delta x = f(x)]_a^b = f(b) - f(a)~ (giống nếu ~g(x) = f'(x)~ thì ~\int_a^b g(x) dx = f(x)]_a^b~)
  • Ta kí hiệu ~\sum g(x) \delta x = f(x) + C~ (giống nguyên hàm)

Chứng minh tính chất nếu ~g(x) = \Delta(f(x))~ thì ~\sum_a^b g(x) \delta x = f(x)]_a^b = f(b) - f(a)~

Ta có:

~\sum_a^b g(x) \delta x = \sum_{k=a}^{b-1} g(x) = \Delta(f(a)) + \Delta(f(a+1)) + \Delta(f(a+2)) + ... + \Delta(f(b-1))~

~\sum_a^b g(x) \delta x = (f(a+1) - f(a)) + (f(a+2) - f(a+1)) + (f(a+3) - f(a+2)) + ... + (f(b) - f(b-1))~

~\sum_a^b g(x) \delta x = f(b) - f(a)~

Từ các công thức tính sai phân ở trên, ta dễ dàng có được các công thức tính tổng phân sau:

• ~\sum x^{\underline{m}} \delta x = \frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1} + C~ (đúng khi ~m \ne -1~)
• ~\sum c^x \delta x = \frac{c^x}{c-1} + C~ (đúng khi ~c \ne 1~). Khi ~c = 1~ thì ~\sum c^x \delta x = \sum 1 \delta x = x + C~

Bây giờ ta cần sửa công thức cho ~\sum x^{\underline{m}} \delta x~ khi ~m = -1~. Ở môn giải tích, ta biết

~\int x^{-1} dx = \ln |x| + C~

Tương tự, ta cũng có

~\sum x^{\underline{-1}} = H_x + C~ với ~H_x = \sum_{1 \leq k \leq x} \frac{1}{k}~

Điều này cho thấy ~H_x~ có nhiều tính chất giống với hàm ~\ln~. Người ta cũng đã chứng minh được ~|H_n - \ln n| < 1~ khi ~n~ đủ lớn.

3. Ứng dụng đơn giản của tổng phân

Xét bài toán tính ~\square_n = \sum_{0 \leq k \leq n} k^2~

Thoại nhìn thì có vẻ như bài toán trên không liên quan gì đến sai phân, tổng phân vì các tính chất ở trên chỉ dành cho lũy thừa giảm chứ không phải lũy thừa bình thường. Tuy nhiên, ta có thể chuyển ~k^2~ bằng tổng các lũy thừa giảm bằng công thức ~k^2 = k^{\underline{2}} + k^{\underline{1}}~

Ta có:

~\sum_{0 \leq k \leq n} k^2 = \sum_0^{n+1} k^2 \delta k = \sum_0^{n-1} (k^{\underline{2}} + k^{\underline{1}}) \delta k~

~\boxed{\sum_{0 \leq k \leq n} k^2 = [\frac{k^{\underline{3}}}{3} + \frac{k^{\underline{2}}}{2}]_0^{n+1}}~

Từ đây ta chỉ việc khai triển là ra một công thức cho ~\square_n~

Tương tự, ta có thể dùng công thức ~k^3 = k^{\underline{3}} + 3k^{\underline{2}} + k^{\underline{1}}~ để tính ~C_n = \sum_{0 \leq k \leq n} k^3~ như sau:

~C_n = \sum_0^{n+1} (k^{\underline{3}} + 3k^{\underline{2}} + k^{\underline{1}}) \delta k~

~C_n = [\frac{k^{\underline{4}}}{4} + k^{\underline{3}} + \frac{k^{\underline{2}}}{2}]_0^{n+1}~

Làm thế nào để ta tìm được các hệ số trong các công thức ~k^2 = k^{\underline{2}} + k^{\underline{1}}~ và ~k^3 = k^{\underline{3}} + 3k^{\underline{3}} + k^{\underline{1}}~. Câu trả lời là ta sử dụng số Sterling loại I (cái này cũng giống việc ta sử dụng số tổ hợp hay tam giác Pascal để tìm hệ số của các số hạng trong khai triển ~(a+b)^n~ vậy).

4. Sai phân của một tích, tổng phân từng phần

Xét sai phân của một tích hai hàm ~u~ và ~v~. Ta sẽ tìm cách tính ~\Delta(uv)~ từ ~u, v, \Delta(u), \Delta(v)~

~\Delta(uv) = u(x+1)v(x+1) - u(x)v(x) = u(x+1)v(x+1) + u(x+1)v(x) - u(x+1)v(x) - u(x)v(x)~

(việc cộng trừ ~u(x+1)v(x)~ đóng vai trò làm cầu nối giữa hai số hạng)

~\Delta(uv) = u(x+1)[v(x+1) - v(x)] + v(x)[u(x+1) - u(x)]~

~\Delta(uv) = u(x+1)\Delta(v) + v(x)\Delta(u)~

Để công thức này đẹp hơn, ta định nghĩa ~Eu(x) = u(x+1)~ (~E~ là viết tắt của từ "Extra" (thêm) trong tiếng Anh), ta có thể viết gọn công thức này lại như sau:

~\boxed{\Delta(uv) = Eu\Delta(v) + v\Delta(u)}~

Trong sách, công thức này là ~\boxed{\Delta(uv) = u\Delta(v) + Ev\Delta(u)}~. Mặc dù hai công thức này không đối xứng nhưng ta có thể chứng minh chúng bằng nhau.

Ở môn giải tích, công thức tính đạo hàm của một tích giúp ta có được công thức tính tích phân từng phần. Tương tự, ta cũng có công thức tính tổng phân từng phần như sau:

~\sum u\Delta(v) = uv - \sum Ev\Delta(u)~

Giống như công thức tính tích phân từng phần, ta thường sử dụng được công thức tính tổng phân từng phần nếu trong biểu thức cần tính, có một phần tính sai phân dễ và một phần tính tổng phân dễ.

Ví dụ 1: Tính ~\sum_{0 \leq k \leq n} k2^k~

Đầu tiên, ta tính ~\sum x2^x \delta x~

Đặt ~u(x) = x \Rightarrow \Delta(u) = 1~, ~\Delta(v) = 2^x \Rightarrow v = 2^x \Rightarrow Ev = 2^{x+1}~

Khi đó: ~\sum x2^x \delta x = x2^x - \sum 2^{x+1} \delta x = x2^x + 2^{x+1} + C~

vì thế mà ~\sum_{0 \leq k \leq n} k2^k = \sum_0^{n+1} x2^x \delta x = [x2^x + 2^{x+1}]_0^{n+1}~

Ví dụ 2: Tính ~\sum_0^n H_x \delta x~

Ta thấy ~H_x~ là một phần dễ tính sai phân, vì thế nên ta đặt

~u(x) = H_x \Rightarrow \Delta(u) = x^{\underline{-1}}~

~\Delta(v) = 1 \Rightarrow v = x^{\underline{1}} = x\Rightarrow Ev = (x+1)^{\underline{1}}~

Ta có: ~\sum H_x \delta x = xH_x - \sum (x+1)^{\underline{1}}x^{\underline{-1}} \delta x~

~\sum H_x \delta x = xH_x - \sum 1 \delta x~

~\sum H_x \delta x = xH_x - x + C~

Từ đó dễ dàng tính được ~\boxed{\sum_0^n H_x \delta x = nH_n - n}~

Ví dụ 3: Tính ~\sum_0^n xH_x \delta x~

Đặt:

~u(x) = H_x \Rightarrow \Delta(u) = x^{\underline{-1}}~

~\Delta(v) = x \Rightarrow v = \frac{x^{\underline{2}}}{2} \Rightarrow Ev = \frac{(x+1)^{\underline{2}}}{2}~

Ta có:

~\sum xH_x \delta x = \frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x - \sum \frac{(x+1)^{\underline{2}}x^{\underline{-1}}}{2} \delta x~

~\sum xH_x \delta x = \frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x - \frac{1}{2} \sum x \delta x~

~\sum xH_x \delta x = \frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x - \frac{x^{\underline{2}}}{4} + C~

Từ đó dễ dàng tính được ~\boxed{\sum_0^n xH_x \delta x = \frac{n^{\underline{2}}}{2}H_n - \frac{n^{\underline{2}}}{4}}~

5. Tổng hợp kiến thức

~\Delta(x^{\underline{m}}) = mx^{\underline{m-1}} \Rightarrow \sum x^{\underline{m}} \delta x = \frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1} + C~

(Đặc biệt: ~\Delta(H_x) = x^{\underline{-1}} \Rightarrow \sum x^{\underline{-1}} \delta x = H_x + C~)

~\Delta(c^x) = (c-1)c^x \Rightarrow \sum c^x \delta x = \frac{c^x}{c-1} + C~

(Đặc biệt: ~\Delta(2^x) = 2^x \Rightarrow \sum 2^x \delta x = 2^x + C~)

~\Delta(cf) = c\Delta(f) \Rightarrow \sum cf = c \sum f~ (~c~ là hằng số)

~\Delta(f + g) = \Delta(f) + \Delta(g) \Rightarrow \sum (f + g) = \sum f + \sum g~

~\Delta(fg) = f\Delta(g) + Eg\Delta(f) \Rightarrow \sum f\Delta(g) = fg - \sum Eg\Delta(f)~