Lưu ý: Lời giải theo kiểu viết nháp, không theo chuẩn Toán học.

Câu 3 phần III:

Tập hợp các số đã cho gồm có ~5~ số chia ~5~ dư ~1~, ~4~ số chia ~5~ dư ~2~, ~3~ số chia ~5~ dư ~3~, ~2~ số chia ~5~ dư ~4~ và ~1~ số chia hết cho ~5~.

Để điền hàng 1 và cột 1, ta cần có đủ ~5~ số dư. Thành ra ô ~(1,1)~ phải được điền số ~5~ là số duy nhất chia hết cho ~5~.

Để điền vào đường chéo thứ hai, ta buộc phải chỉ dùng hai số chia ~5~ dư 4. Tương tự với các đường chéo khác.

Vậy theo quy tắc nhân, đáp án là ~\frac{1 \times 2! \times 3! \times 4! \times 5!}{10} = \boxed{3456}~

Câu 6 phần III:

Các hình vuông có dạng ~A_kA_{k+3}A_{k+6}A_{k+9}~. Ta có ~3~ hình vuông như vậy.

Để xếp các bóng, ta cần làm theo quy trình sau:

• Bước 1: Chọn hình vuông cho các bóng đèn. (chia kẹo Euler, ~4! \times C_3^2~)
• Bước 2: Với mỗi hình vuông, chọn đỉnh cho bóng đỏ (tổng cộng ~4^2 \times C_4^2~ cách chọn).
• Bước 3: Chọn vị trí cho ~8~ bóng còn lại (~8!~ cách chọn).

Vậy có tổng cộng ~4! \times 8! \times 4^4~ kết quả thuận lợi.

Không gian mẫu là ~12!~. Vậy đáp án là ~4565 \times \frac{4! \times 8! \times 4^4}{12!} = \boxed{2656}~.

Câu 4 phần II:

a) Đúng

b) Sai. Không tồn tại ~t~ để đường thẳng này đi qua ~M~.

c)

Hệ phương trình cho vành đai bảo vệ là ~\begin{cases} z = 0 \\ x = 6\cos(t) \\ y = 6\sin(t) \end{cases}~

Hệ phương trình cho quỹ đạo bay là ~\begin{cases} x = 2(1-t) + 14t \\ y = 11(1-t) + 2t \\ z = 3 \end{cases}~ (~0 \leq t \leq 1~)

Chú ý ~z~ là hằng số.

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa máy bay và vành đai là ~\sqrt{9 + d^2}~ với ~d~ là khoảng cách giữa đường tròn và hình chiếu của quỹ đạo bay trên ~(Oxy)~.

Phương trình hình chiếu là ~3(x-2) + 4(y-11) = 0~

Khoảng cách từ tâm đến hình chiếu này là ~\frac{50}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 10~

Khoảng cách từ đường tròn đến hình chiếu là ~10 - 6 = 4~

Vậy khoảng cách nhỏ nhất là ~\sqrt{9 + 16} = 5~, tương ứng với ~50~ mét.

~\Rightarrow~ Sai.

d) Giải hệ ~\begin{cases} 3(x-2) + 4(y-11) = 0 \\ x^2 + y^2 = 100 \end{cases}~, ta được ~x = 6~ và ~y = 8~, nên phát biểu đúng.

(Chú ý: Nếu dùng số của câu d để kiểm tra câu c thì ta sẽ biết luôn câu c sai, nhưng chưa thể kết luận chắc chắn d đúng hay sai).