Ở lần thử đầu tiên, mình đã giải sai câu 1 và câu 4. Mình đã sửa lại và dưới đây là đáp án đúng.

Câu 1:

Chọn hệ trục tọa độ ~Axyz~ sao cho ~A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0)~. Khi đó ~H(\frac43; \frac23; 0)~, và ~S(\frac43; \frac23; \sqrt{2})~.

~\overrightarrow{AC} = (2;2;0) \sim (1;1;0)~

~\overrightarrow{SD} = (-\frac43;\frac43;-\sqrt{2}) \sim (4; -4; 3\sqrt{2})~

~\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{SD} \sim (3\sqrt{2}; -3\sqrt{2}; -8)~

Phương trình mặt phẳng đi qua ~AC~ và song song với ~SD~ là ~3\sqrt{2}x - 3\sqrt{2}y - 8z = 0~

~d(AC, SD) = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{18 + 18 + 64}} \approx 0,85~

Câu 2:

Lợi nhuận là ~F(x) - xG(x) = -0,01x^2 + 400x - 30000 - 270x = -0,01x^2 + 130x - 30000~ (nghìn đồng)

Lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng khi ~-0,01x^2 + 130x - 30000 > 100000~

~-0,01x^2 + 130x - 130000 > 0~

~1091,67 < x < 11908,3~

Do ~x \in \mathbb{N}^*~ nên doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất ~1092~ sản phẩm.

Câu 3:

Gọi chiều cao của khối chóp đầy đủ là ~x~. Theo định lí Thales, ta có ~\frac{x - 1,5}{x} = \frac{7,4}{10,4}~, tức ~x = \frac{26}{5}~

Thể tích khối chóp đầy đủ là ~\frac{1}{3} \times 10,4^2 \times \frac{26}{5} = \frac{70304}{375}~

Thể tích phần chóp bị cụt đi là ~\frac{1}{3} \times 7,4^2 \times (\frac{26}{5} - 1,5) = \frac{50653}{750}~

Vậy thể tích khối chóp cụt trước khi bị khoét là ~\frac{70304}{375} - \frac{50653}{750} = \frac{5997}{50}~.

Chọn hệ trục tọa độ như hình minh họa. Gọi hoành độ giao giữa mặt cắt và trục hoành là ~t~, ta có: ~t = \sqrt{5,7^2 - 3,5^2} = \frac{\sqrt{506}}{5}~

Phương trình phần trên của phần giao giữa mặt cầu và mặt phẳng ~Oxy~ là ~y = \sqrt{5,7^2 - x^2}~

Thể tích phần bị khoét đi là ~\pi \int_{\frac{\sqrt{506}}{5}}^{5,7} (5,7^2 - x^2) dx \approx 24,0194~

Vậy thể tích phần đế cuối cùng là ~\frac{5997}{50} - 24,0194 \approx 95,9~ (~cm^3~)

Câu 4:

Gọi ~x~ là số thực đơn 1, ~y~ là số thực đơn ~2~, ta có:

~2x + 3y \leq 165~

~x + 2y \leq 100~

~x \geq 0~

~y \geq 0~

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của ~M = 35x + 55y~. Giá trị này đạt được ở một đỉnh trong hình lồi tạo bởi 4 nửa mặt phẳng có bất phương trình là 4 bất phương trình trên.

~\begin{cases} 2x + 3y = 165 \\ x + 2y = 100 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 30 \\ y = 35 \end{cases}~. Khi đó ~M = 2975~

~\begin{cases} x + 2y = 100 \\ x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 50 \end{cases}~. Khi đó ~M = 2750~.

~\begin{cases} 2x + 3y = 165 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{165}{2} \\ y = 0 \end{cases}~. Khi đó ~M = 2887,5~.

Vậy số tiền lớn nhất là ~2975~ nghìn đồng.

Câu 6:

Ta thực hiện công việc gồm 2 bước sau:

1. Xếp thứ tự ~8~ quyển sách. Có ~8!~ cách làm.
2. Ngăn ~8~ quyển sách này thành 4 ngăn chứa sách. Có ~7~ chỗ trống có thể chọn và ~3~ vách ngăn, nên với mỗi cách làm bước 1, ta có ~\binom{7}{3}~ cách làm bước 2.

Vậy theo quy tắc nhân, có ~8! \times \binom{7}{3} = 1411200~. Giá trị cần tìm là ~\frac{1411200}{600} = 2352~