Không gian metric

Định nghĩa, sự hội tụ

Định nghĩa : Cho tập hợp ~X~, ánh xạ ~\rho :X \times X \rightarrow \mathbb{R}~ được gọi là metric (khoảng cách) khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:

• ~\rho(x, y) \ge 0~ ~\forall x, y \in X;\ \rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y~
• ~\rho(x, y) = \rho(y, x) \Leftrightarrow x = y \ \forall \ x, y \in X~
• ~\rho(x, z) \le \rho(x, y) + \rho(y, z) \ \forall \ x, y, z \in X~

Khi đó ~(X, \rho)~ được gọi là không gian metric

Sự hội tụ : Cho ~\{x_n\} \subset X, x_0 \in X~, ta bảo $$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow \infty} \rho(x_n, x_0) = 0$$

Tập mở, tập đóng

Cho ~(X, \rho)~ là không gian metric :

• ~B\left(x_0, r\right) = \{ x \in X : \rho(x, x_0) < r \}~ là hình cầu mở tâm ~x_0~ bán kính ~r~

• ~B\left[x_0, r \right] =\{x \in X : \rho(x, x_0) \le r \}~ là hình cầu đóng tâm ~x_0~ bán kính ~r~

• ~A \subset X~ được gọi là tập mở ~\Leftrightarrow~ ~\forall x \in X, \exists \ r > 0: B\left(x, r\right) \subset A~

• ~A \subset X~ được gọi là tập đóng nếu ~X \backslash A~ là mở

Định lí 1 : Cho ~(X, \rho)~ là không gian metric, thì có :

1. ~\varnothing, X~ là các tập mở.
2. Hợp của họ bất kì các tập mở là tập hợp mở.
3. Giao của họ hữu hạn các tập mở là tập hợp mở.

Định lí 2 : Cho ~(X, \rho)~ là không gian metric, thì có :

1. ~\varnothing, X~ là các tập đóng.
2. Hợp của họ hữu hạn các tập đóng là tập hợp đóng.
3. Giao của họ bất kì các tập đóng là tập hợp đóng.

Định lí 3 : Cho ~(X, \rho)~ là không gian metric, khi đó ~A~ đóng ~\Leftrightarrow \ \forall \ \{x_n\} \subset X, x_n \rightarrow x_0~ khi ~n \rightarrow \infty \ \Rightarrow x_0 \in A~

Mệnh đề :

• Trong không gian metric, hình cầu đóng là tập đóng
• Cho ~x \in X~, tập mở bất kì chứa điểm ~x~ được gọi là lân cận của ~x~.
• Cho ~x \in X~, ~x~ được gọi là điểm trong của tập ~A \subset X~ khi và chỉ khi tồn tại một lân cận của ~x~ nằm trong ~A~
• Cho ~x \in X~, ~x~ được gọi là điểm biên của ~A~ khi và chỉ khi mọi lân cận ~U~ của ~x~ đều có ~U \cap A \neq \varnothing, \ U \cap (X \backslash A) \neq \varnothing~

Định lí 4 : điểm ~x_0 \in X~ được gọi là điểm tụ của tập ~A \subset X~ khi và chỉ khi tồn tại dãy ~\{x_n\}~ đôi một khác nhau của ~A~ sao cho ~x_n \rightarrow x_0~ khi ~n \rightarrow \infty~

Hệ quả : ~A \subset X~, ~A~ đóng ~\Leftrightarrow~ A chứa các điểm tụ của nó

Định nghĩa : Cho ~A \subset X~, ta gọi ~\overline{A} = A \cup \partial A~ là bao đóng của ~A~, ở đó ~\partial A~ là tập các điểm biên của ~A~.

Định lí 5 : ~\overline{A}~ là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa ~A~.

Định lí 6 : Cho ~A \subset X~, khi đó ~x_0 \in \overline{A} \ \Leftrightarrow \exists \ \{x_n\} \subset A : x_n \rightarrow x_0~ khi ~n \rightarrow \infty~

Định nghĩa : Phần trong của ~A~ là tập hợp các điểm trong của ~A~ và được kí hiệu là ~A^0~ hoặc ~\text{Int} A~

Định lí 7 : Ta có

• ~A^0~ là tập mở và là tập mở lớn nhất trong ~A~
• ~A^0 = A \backslash \partial A~

Định nghĩa : Cho ~A \subset X~, ta nói ~A~ trù mật trong ~X~ ~\Leftrightarrow \ \overline{A} = X~

Hệ quả : Ta nói ~A~ mở ~\Leftrightarrow \ A = A^0~ và ~A~ đóng ~\Leftrightarrow \ A = \overline{A}~

Không gian metric đủ (đầy)

Cho ~(X, \rho)~ là không gian metric.

Định nghĩa : Mọi dãy ~\{x_n\} \subset X~ là dãy cơ bản ~\Leftrightarrow \ \rho(x_n, x_m) \rightarrow 0~ khi ~n, m \rightarrow \infty~

Chú ý : Mọi dãy hội tụ đều là dãy cơ bản.

Định nghĩa : ~(X, \rho)~ được gọi là không gian metric đủ khi và chỉ khi mọi dãy cơ bản trong ~X~ đều hội tụ.

Nguyên lí Cantor : Trong không gian metric đủ, mỗi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất.

Định nghĩa. : Ánh xạ ~f~ từ không gian metric ~X~ vào chính nó được gọi là ánh xạ co ~\Leftrightarrow \ \exists \ \theta \in (0; 1) : \rho(f(x_1), f(x_2)) \le \theta \rho(x_1, x_2)~

Định nghĩa : Điểm ~x \in X~ được gọi là điểm bất động của ánh xạ ~f~ khi và chỉ khi ~f(x) = x~

Định lí 8 (Banach) : Mỗi ánh xạ co ~f~ từ không gian metric đủ ~X~ vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất.

Không gian định chuẩn

Định nghĩa : Ánh xạ ~\Vert \ \Vert : X \rightarrow \mathbb{R} \ (x \rightarrow \Vert x \Vert)~ thỏa mãn các điều kiện sau :

• ~\Vert x \Vert \ge 0, \ \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0 \ \forall x \in X~
• ~\Vert \lambda x \Vert = \vert \lambda \vert \Vert x \Vert \ \forall x \in X, \lambda \in \mathbb{R}~
• ~\Vert x + y \Vert \le \Vert x \Vert + \Vert y \Vert \ \forall x, y \in X~

thì được gọi là chuẩn trên ~X~

Định nghĩa : ~X~ là không gian tuyến tính thực, khi đó ~(X, \Vert \ \Vert)~ được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.

Mệnh đề : ~(X, \Vert \ \Vert)~ là không gian định chuẩn, khi đó ~(X, \rho)~ là không gian metric, ở đó ~\rho(x, y) = \Vert x - y \Vert~

Định nghĩa : Cho ~(X, \Vert \ \Vert_1), (X, \Vert \ \Vert_2)~ Ta bảo các chuẩn ~\Vert \ \Vert_1, \Vert \ \Vert_2~ tương đương ~\Leftrightarrow \exists \ M > 0, m > 0 : m\Vert x \Vert_1 \le \Vert x \Vert_2 \le M\Vert x \Vert_1 \ \forall x \in X~

Nhận xét : Các chuẩn trên không gian tuyến tính hữu hạn chiều đều tương đương với nhau.