I. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH

1. Không gian tuyến tính (không gian vector)

Bộ tập hợp ~V~ và hai phép toán ~+~ (cộng), ~\cdot~ (nhân) được gọi là một không gian tuyến tính thực khi thỏa mãn ~10~ tiên đề sau:

Các tiên đề về tính đóng

Đóng với phép cộng: ~\forall x, y \in V: x + y \in V~

Đóng với phép nhân số thực: ~\forall a \in \mathbb{R}, x \in V: ax \in V~

Các tiên đề về phép cộng

Tính chất giao hoán: ~\forall x, y \in V: x + y = y + x~

Tính chất kết hợp: ~\forall x, y, z \in V: (x + y) + z = x + (y + z)~

Tồn tại phần tử ~0~: ~\exists 0 \in V: \forall x \in V: x + 0 = x~

Tồn tại số đối: ~\forall x \in V: x + (-1)x = 0~

Các tiên đề về phép nhân số thực

Tính chất kết hợp: ~\forall a, b \in \mathbb{R}, x \in V: (ab)x = a(bx)~

Tính chất phân phối đối với phép cộng trong ~V~: ~\forall a \in \mathbb{R}, x, y \in V: a(x + y) = ax + ay~

Tính chất phân phối đối với phép cộng số thực: ~\forall a, b \in \mathbb{R}, x \in V: (a+b)x = ax + bx~

Tồn tại đơn vị: ~\forall x \in V: 1x = x~

Khi thay tập ~\mathbb{R}~ bằng tập ~\mathbb{C}~ trong định nghĩa trên, ta được định nghĩa của không gian tuyến tính phức.

2. Không gian tuyến tính con

Nếu ~V~ là một không gian tuyến tính, ~S \ne \emptyset, S \subset V~, và ~S~ thỏa mãn các tiên đề về tính đóng, ~S~ là một không gian tuyến tính con của ~V~

Nếu ~S~ là một tập con của không gian tuyến tính ~V~, ~\text{span } S = \begin{cases} \emptyset \text{ nếu } S = \emptyset \\ \{\sum_{i=1}^n c_i x_i | n \in \mathbb{N}, \forall i \in \mathbb{N}, 1 \leq i \leq n: c_i \in \mathbb{R}, x_i \in S\} \text{ nếu } S \ne \emptyset \end{cases}~ được gọi là bao tuyến tính của ~S~ và là một không gian tuyến tính con của ~V~.

3. Độc lập tuyến tính

Một tập con ~S~ của không gian tuyến tính ~V~ là một tập độc lập tuyến tính khi ~\forall k \in \mathbb{N}, x_1, x_2, ..., x_k \in S, c_1, c_2, ..., c_k \in \mathbb{R}: \sum_{i=1}^k c_i x_i = 0 \Leftrightarrow \forall i \in \mathbb{N}, 1 \leq i \leq k: c_i = 0~

Một tập con ~S~ của không gian tuyến tính ~V~ là một tập phụ thuộc tuyến tính khi ~S~ không phải một tập độc lập tuyến tính.

Nếu ~S~ là một tập độc lập tuyến tính của không gian tuyến tính ~V~, ~\forall A \subset \text{span } S, |A| \geq |S|+1: A~ là một tập phụ thuộc tuyến tính.

4. Cơ sở

Một tập độc lập tuyến tính ~S~ của không gian tuyến tính ~V~ là một cơ sở của ~V~ khi ~\text{span } S = V~. Khi đó, ~\dim V = |S|~.

Nếu ~\dim V \in \mathbb{N}~, ~\forall S, T \text{ là cơ sở của } V: |S| = |T|~

Với ~V~ là không gian tuyến tính có ~\dim V = n \in \mathbb{N}~, ta có:

~\forall S \subset V, S \text{ độc lập tuyến tính}: \exists B \text{ cơ sở của } V: S \subset B~

~\forall S \subset V, S \text{ độc lập tuyến tính}, |S| = n: S \text{ là cơ sở của } V~

5. Tọa độ

Cho ~V~ là không gian tuyến tính có ~\dim V = n \in \mathbb{N}~ và ~B = (e_1, e_2, ..., e_n)~ là một cơ sở của ~V~. Khi đó, ~\forall x \in V:~ tồn tại duy nhất bộ số thực ~(c_1, c_2, ..., c_n): \sum_{i=1}^n c_i e_i = x~

Bộ số thực ~(c_1, c_2, ..., c_n)~ được gọi là tọa độ của ~x~ trong cơ sở ~B~.

6. Tích trong

Phép toán ~(x, y)~ có kết quả là số thực được gọi là một tích trong của không gian tuyến tính thực ~V~ khi có đồng thời các tính chất sau:

Tính đối xứng: ~\forall x, y \in V: (x,y) = (y,x)~

Tính phân phối: ~\forall x, y, z \in V: (x, y + z) = (x, y) + (x, z)~

Tính kết hợp: ~\forall c \in \mathbb{R}, x, y \in V: c(x, y) = (cx, y)~

Tính dương: ~\forall x \in V, x \ne 0: (x, x) > 0~

Một không gian tuyến tính thực được trang bị tích trong được gọi là không gian Euclid thực.

Với không gian tuyến tính phức, tích trong ~(x, y)~ có kết quả là số phức. Thay vì tính đối xứng, tích trong cần thỏa mãn tính đối xứng Hermitian

~\forall x, y \in V: (x, y) = \overline{(y,x)}~ (với ~u \in \mathbb{C}~, ~\overline{u}~ là số phức liên hợp của ~u~)

và tính kết hợp được định nghĩa như sau:

~\forall c \in \mathbb{C}, x, y \in V: c(x,y) = c\overline{(y,x)} = \overline{(\overline{c}y, x)} = (x, \overline{c}y)~

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwart) Cho không gian Euclid ~V~. ~\forall x, y \in V: |(x, y)|^2 \geq (x,x)(y,y)~. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ~x, y~ phụ thuộc tuyến tính.

Trong không gian Euclid ~V~, ~|x| = (x,x)^{\frac12}~ được định nghĩa là chuẩn của ~x~. Chuẩn có các tính chất sau:

~|x| \geq 0~. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ~x = 0~

~\forall x \in V, c \in \mathbb{R}: |cx| = c|x|~

(Bất đẳng thức tam giác) ~\forall x, y \in V: |x| + |y| \geq |x+y|~. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ~x = 0~ hoặc ~y = 0~ hoặc ~\exists c>0: y = cx~

Trong không gian Euclid ~V~, góc giữa hai phần tử ~x~ và ~y~ được định nghĩa là số thực ~\theta~ thỏa mãn ~0 \leq \theta \leq \pi~ và ~\cos \theta = \frac{(x,y)}{|x||y|}~

7. Vuông góc

Trong không gian Euclid ~V~:

Hai phần tử ~x~, ~y~ được gọi là hai phần tử vuông góc khi ~(x,y)=0~

Một tập ~S \subset V~ được gọi là tập trực giao khi ~\forall x, y \in S, x \ne y: (x,y) = 0~

Một tập trực giao ~S~ được gọi là tập trực chuẩn khi ~\forall x \in S: |x| = 1~

Mọi tập trực giao khác rỗng đều độc lập tuyến tính.

Nếu ~S = \{e_1, e_2, ..., e_n\}~ là một cơ sở trực giao của ~V~ thì ~\forall x \in V: x = \sum_{i=1}^n \frac{(x, e_i)}{(e_i, e_i)}e_i~

(Công thức Parseval) Nếu ~S = \{e_1, e_2, ..., e_n\}~ là một cơ sở trực chuẩn của ~V~ thì ~\forall x, y \in V: (x,y) = \sum_{i=1}^n(x, e_i)\overline{(y, e_i)}~

Khi ~x=y~, công thức Parseval trở thành ~(x, x) = \sum_{i=1}^n (x, e_i)^2~ (định lí Pythagore)

1. Quá trình Gram-Schmidt

Cho một dãy ~x_1, x_2, ...~ gồm vô hạn hay hữu hạn phần tử của không gian Euclid ~V~. Khi đó sẽ có một dãy phần tử ~y_1, y_2, ...~ thuộc ~V~ tương ứng có các tính chất sau với mỗi ~k \in \mathbb{N}^*~:

1. ~\forall e \in \text{span } \{y_1, y_2, ..., y_{k-1}\}: (e, y_k) = 0~
2. ~\text{span } \{x_1, x_2, ..., x_k\} = \text{span } \{y_1, y_2, ..., y_k\}~
3. ~|y_k| = 1~

Quá trình Gram-Schmidt:

~y_1 = x_1~

~y_{r+1} = x_{r+1} - \sum_{i=1}^r \text{proj }_{y_i}(x_{r+1})~ với ~r \in \mathbb{N}^*~

(~\text{proj }_{y}(x) = \frac{(x, y)}{(y, y)}y~ được gọi là phần tử chiếu trực giao của ~x~ trên ~y~)

Quá trình này sẽ tạo ra một tập trực giao (có thể biến đổi thành tập trực chuẩn)

Mọi không gian Euclid hữu hạn chiều đều có một cơ sở trực giao.

9. Hình chiếu

Cho ~S \subset V~ của không gian Euclid ~V~ (~S~ không nhất thiết là không gian con). Một phần tử ~x~ của ~V~ vuông góc với ~S~ khi ~\forall y \in S: (x,y) = 0~. Tập hợp các phần tử vuông góc với ~S~ được kí hiệu ~S^\perp~ và được gọi là phần bù trực giao của ~S~.

~S^\perp~ luôn là không gian con của ~V~.

Cho không gian Euclid ~V~ và không gian con hữu hạn chiều ~S~ của ~V~. Khi đó, ~\forall x \in V:~ tồn tại duy nhất một cặp ~(s, s^\perp) \in S \times S^\perp~ thỏa mãn ~x = s + s^\perp~. Ngoài ra, ~|x|^2 = |s|^2 + |s^\perp|^2~

Cho không gian con hữu hạn chiều ~S~ của không gian Euclid ~V~ có ~\{e_1, e_2, ..., e_n\}~ là một cơ sở chuẩn tắc. Với ~x \in V~, ta gọi ~s = \sum_{i=1}^n (x, e_i)e_i~ là hình chiếu của ~x~ trên ~S~.

~\forall t \in S: |x-s| \leq |x-t|~, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ~s = t~.

II. Phép biến đổi tuyến tính và ma trận

1. Phép biến đổi tuyến tính, tập giá trị, hạt nhân.

Với ~V, W~ là hai không gian tuyến tính. Hàm ~T: V \rightarrow W~ được gọi là một phép biến đổi tuyến tính khi:

~\forall x, y \in V: T(x + y) = T(x) + T(y)~ và ~\forall c \in \mathbb{R}, x \in V: cT(x) = T(cx)~

Tập ~T(V) = \{T(x) | x \in V\}~ là một không gian con của ~W~, và ~T(0) = 0~. ~\text{rank } T = \dim T(V)~

Tập ~\ker T = \{x | x \in V \text{ và } T(x) = 0\}~ được gọi là hạt nhân của ~V~ và là một không gian con của ~V~

(Định lí hạng và số vô hiệu) Nếu ~V~ là không gian tuyến tính, với mọi phép biến đổi tuyến tính ~T~, ~\text{rank } T + \dim \ker T = \dim V~

2. Hàm ngược

Nếu ~T: V \rightarrow W~ có hàm ngược trái ~S: W \rightarrow V~ (tức ~\forall x \in V: (S \circ T)(x) = x~) thì ~T~ là hàm đơn ánh.

Nếu ~T: V \rightarrow W~ có hàm ngược phải ~S: W \rightarrow V~ (tức ~\forall x \in W: (T \circ S)(x) = x~) thì ~T~ là hàm toàn ánh.

Một hàm vừa đơn ánh và toàn ánh là hàm song ánh.

Phép biến đổi tuyến tính ~T: V \rightarrow W~ là hàm đơn ánh ~\Leftrightarrow \ker T = \{0\}~

Nếu ~\dim V = \dim W < +\infty~ thì với phép biến đổi tuyến tính ~T: V \rightarrow W~, ~T~ là hàm đơn ánh ~\Leftrightarrow T~ là hàm song ánh ~\Leftrightarrow T~ là hàm toán ánh. Ngoài ra, mọi hàm ngược trái của ~T~ đều là hàm ngược phải, và mọi hàm ngược phải của ~T~ đều là hàm ngược trái.

3. Ma trận

Với không gian tuyến tính ~V~ có cơ sở ~\{e_1, e_2, ..., e_n\}~ và ~u_1, u_2, ..., u_n \in W~ bất kì. Khi đó tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính ~T: V \rightarrow W~ thỏa mãn ~\forall k \in \mathbb{N}^*, k \leq n: T(e_k) = u_k~.

Với phép biến đổi tuyến tính ~T~ này, nếu ~x = \sum_{i=1}^n x_i e_i~ thì ~T(x) = \sum_{i=1}^n x_i u_i~

Cho phép biến đổi tuyến tính ~T: V \rightarrow W~ (~\dim V = n~, ~\dim W = m~). ~(e_1, e_2, ..., e_n)~ là cơ sở của ~V~, ~(w_1, w_2, ..., w_m)~ là cơ sở của ~W~. Ma trận ~(t_{ik})~ có chiều ~m \times n~ thỏa mãn ~\forall k \in \mathbb{N}^*, k \leq n: T(e_k) = \sum_{i=i}^m t_{ik} w_i~. Khi đó, nếu ~T(\sum_{k=1}^n x_k e_k) = \sum_{i=1}^m y_i w_i~ thì ~\forall i \in \mathbb{N}^*, i \leq m: y_i = \sum_{k=1}^n t_{ik} x_i~.

Ma trận ~(t_{ik})~ như trên được kí hiệu là ~m(T)~ và được gọi là ma trận của ~T~ ứng với hai cơ sở được cho.

Gọi ~\mathcal{L}(V, W)~ là tập hợp các phép biến đổi tuyến tính ~T: V \rightarrow W~. ~\mathcal{L}(V, W)~ là một không gian tuyến tính.

~m: \mathcal{L}(V, W) \rightarrow M_{\dim W, \dim V}~ là một phép biến đổi tuyến tính và cũng là hàm đơn ánh.

~m(T \circ S) = m(T)m(S)~

~m(T)~ khả nghịch ~\Leftrightarrow T~ khả nghịch. Nếu ~Bm(T) = I~ thì ~B = m(T^{-1})~

III. Định thức

Cho ma trận ~A~ vuông ~n \times n~, ta kí hiệu các hàng của ma trận là ~A_1, A_2, ..., A_n~, và kí hiệu định thức của ma trận ~A~ là ~\det A = \det(A_1, A_2, ..., A_n)~

Các tiên đề về định thức:

~\det(A_1, A_2, ..., A_{k-1}, tA_k, A_{k+1}, ..., A_n) = t \det(A_1, A_2, ..., A_n)~

~\det(A_1, A_2, ..., A_k + C, ..., A_n) = \det(A_1, A_2, .., A_k, ..., A_n) + \det(A_1, A_2, ..., C , ..., A_n)~

Nếu ~\exists i \ne j: A_i = A_j~ thì ~\det A = 0~

~\det I = 1~

Chỉ có duy nhất một hàm ~\det: M_{n, n}(X) \rightarrow X~ thỏa mãn 4 tiên đề trên.

Các tính chất của định thức:

Nếu ~\exists i: A_i = 0~, ~\det A = 0~

~\det(..., A_k, A_{k+1}, ...) = -\det(..., A_{k+1}, A_k, ...)~

Nếu các hàng của ~A~ phụ thuộc tuyến tính, ~\det A = 0~

~\forall A, B \in M_{n, n}: \det(AB) = \det(A)\det(B)~

Nếu ma trận ~A~ khả nghịch, ~\det(A^{-1}) \ne 0~ và ~\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}~

Nếu ~\det(A^{-1}) \ne 0~ thì ma trận ~A~ khả nghịch.

~A_1, A_2, ..., A_n~ độc lập tuyến tính ~\Leftrightarrow \det(A_1, A_2, ..., A_n) \ne 0~

Với hai ma trận vuông ~A, B~, ~\det \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{bmatrix} = (\det A)(\det B)~

~\det A = \sum_{j=1}^n a_{kj}\text{cof } a_{kj}~ với ~\text{cof } a_{kj} = (-1)^{k+j}\det A_{kj}~ (được gọi là phần bù đại số của số hạng tại vị trí ~(k, j)~) và ~A_{kj}~ là ma trận ~A~ bị xóa hàng ~k~ và cột ~j~.

~\det A^T = \det A~

~\text{cof } A~ là ma trận các phần bù đại số của ~A~. Khi đó ~A(\text{cof } A)^T = (\det A)I~

IV. Giá trị đặc trưng

Nếu ~A = (a_{ij})~ là một ma trận chéo, ta viết ~A = \text{diag }(a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn})~

Cho một phép biến đổi tuyến tính ~T: V \rightarrow V~, ~\dim V = n~. Ma trận của ~T~ là ma trận chéo khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở ~u_1, u_2, ..., u_n~ của ~T~ và các số ~\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n~ tương ứng thỏa mãn ~\forall k \in \mathbb{N}^*, k \leq n: T(u_k) = \lambda_k u_k~.

Khi đó, ~A = \text{diag } (\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)~ là ma trận của phép biến đổi ~T~ ứng với cơ sở ~(u_1, u_2, ..., u_n)~